Câu chuyện này phải quay về cuộc đời của Évariste Galois, một nhà toán học người Pháp đã đặt nền móng cho toán học hiện đại. Cuộc đời của Galois giống như một tác phẩm văn chương, một thiên tài ngắn ngủi nhưng có tầm ảnh hưởng to lớn. Trong đêm cuối cùng của cuộc đời, Galois để lại một bức thư cuối cùng nêu lên phát hiện về mối liên hệ giữa lý thuyết nhóm và việc giải phương trình đa thức. Trước đó, người ta đã biết rằng từ bậc 5 trở lên, phương trình đa thức không có công thức nghiệm tổng quát. Đó là nội dung của định lý Abel. Ví dụ, phương trình bậc nhất ax + b = 0 có công thức nghiệm tổng quát x = -b/a. Tuy nhiên, định lý Abel không cho biết phương trình đa thức có thể giải được hay không. Lý thuyết của Galois đã trả lời câu hỏi này. Kết quả là một phương trình đa thức có thể giải được hay không phụ thuộc vào các nghiệm số của nó có tạo thành một nhóm hoán vị hay không. Nhóm hoán vị này được gọi là nhóm Galois. Ví dụ, đối với phương trình bậc 2: ax^2 + bx + c = 0 có nghiệm x1, x2 thỏa mãn công thức Viète: x1 + x2 = -b/a và x1x2 = c/a. Nếu đổi chỗ hai nghiệm này trong công thức Viète, ta vẫn có một đẳng thức đúng: x2 + x1 = -b/a và x2x1 = c/a. Như vậy, phương trình bậc 2 có hai phép đối xứng: một là đồng nhất và hai là hoán vị. Chúng tạo thành nhóm Galois. Từ khái niệm nhóm Galois, người ta phát triển tới khái niệm biểu diễn Galois. Biểu diễn Galois có thể xem là cách diễn tả mối quan hệ phức tạp giữa các nghiệm số của các phương trình nghiên cứu trong lý thuyết số.
Từ thế kỷ 17, Pierre de Fermat, một nhà toán học Pháp, đã đặt câu hỏi: làm thế nào có thể viết một số nguyên tố lẻ thành tổng của hai số chính phương? Ví dụ, 13 = 3^2 + 2^2. Fermat đã tìm ra rằng các số nguyên tố lẻ có dạng 4k + 1 (với k là số nguyên) có tính chất này. Ví dụ, các số 5, 13, 17… thuộc dạng này. Mẫu hình cho số nguyên tố lẻ có dạng 4k + 1 là tính chất chu kỳ, hay có tính chất đối xứng. Định lý Fermat này là ví dụ đơn giản cho bài toán tổng quát hơn, được gọi là luật nghịch đảo. Luật nghịch đảo tìm kiếm điều kiện để một phương trình bình phương có nghiệm. Vào đầu thế kỷ 20, Emil Artin, một nhà toán học Áo, tổng quát hóa luật nghịch đảo và được đặt tên theo ông. Rồi vào năm 1967, Robert Langlands, một nhà toán học Mỹ gốc Canada, tìm ra mối liên quan với hình thức tự cấu. Hình thức tự cấu có thể được coi là các hàm số đối xứng cao. Ví dụ đơn giản là hàm sin(x) hoặc cos(x). Các hàm số này có tính chất chu kỳ, hay nói cách khác, chúng không thay đổi nếu ta dịch chuyển đồ thị hàm số dọc theo trục x đi 2π. Đây là tính chất đối xứng đơn giản. Langlands đã cho thấy tương lai của lý thuyết số là hiểu biết về các hàm số có tính chất chu kỳ kỳ lạ hoặc các dạng phức hợp khác. Ông nhận thấy rằng một số ví dụ (như số 4 trong định lý Fermat) thực tế là một ma trận 1×1. Do đó, sự dịch chuyển chu kỳ trong định lý Fermat có thể được biểu diễn bằng một số hoặc một ma trận 1×1. Với các định luật nghịch đảo tổng quát hơn, khoảng cách dịch chuyển biến đổi đằng sau chúng có thể được biểu diễn bằng ma trận có kích thước lớn hơn. Đây là một định đề của Langlands trong chương trình mang tên ông.
Bạn đang xem: Bổ đề cơ bản và chương trình Langlands
Khi khám phá các quy luật toán học, các nhà toán học thường phát biểu chúng dưới dạng định đề, tức là một mệnh đề toán học có thể đúng nhưng chưa được chứng minh hoặc chỉ mới được chứng minh đúng cho một số trường hợp. Cách mà các nhà toán học phát hiện ra các định đề này là một điều bí ẩn, ít nhất là đối với tôi. Tôi có cảm giác như đó là một nghệ thuật hay một dạng mặc khải về cái đẹp. Chúng ta chỉ có thể ngạc nhiên và sững sờ trước chúng mà không thể lý giải được tại sao chúng lại tồn tại và hợp lý đến thế. Vào năm 1967, Langlands đề xuất mối liên hệ mật thiết giữa đại số và giải tích, cụ thể là sự tương ứng giữa biểu diễn Galois và hình thức tự cấu. Đó là chương trình Langlands, một lý thuyết thống nhất và to lớn của toán học, bao gồm cả việc tổng quát hóa của luật nghịch đảo Artin và mở rộng Galois cho trường số.
Bổ đề cơ bản nằm trong chương trình Langlands và là một kết quả quan trọng trong lý thuyết hình thức tự cấu. Vào năm 1979, Labesse và Langlands công bố khám phá về hiện tượng hai biểu diễn tự cấu cùng tương ứng với một hàm số L có thể xảy ra với bội khác nhau trong không gian của các hình thức tự cấu. Ban đầu, Labesse và Langlands chỉ chứng minh cho nhóm SL(2). Sau đó, Kottwitz chứng minh cho nhóm SL(3), và Waldspurger chứng minh cho toàn bộ nhóm SL(n). Hales và Weissauer chứng minh cho nhóm Sp(4). Kottwitz và Rogawski chứng minh cho nhóm unitary U(3). Sau đó, Laumon và Ngô Bảo Châu chứng minh cho toàn bộ nhóm unitary U(n). Với kết quả này, Laumon và Ngô Bảo Châu đã được trao giải thưởng nghiên cứu Clay vào năm 2004 cùng với Green. Vào năm 2008, Ngô Bảo Châu chứng minh cho tất cả các trường hợp và kết quả đã được khẳng định vào năm nay. Vì vậy, Ngô Bảo Châu đã đặt dấu chấm hết cho Bổ đề cơ bản, kết thúc chặng đường 30 năm lịch sử của nó.
GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến xin giới thiệu vắn tắt Chương trình “Bổ Đề Cơ Bản” trong Chương trình Langlands của GS Ngô Bảo Châu.
Robert Phelan Langlands là một nhà toán học Mỹ gốc Canada, sinh ngày 6/10/1936, tuổi Chuột, tại New Westminster, British Columbia, Canada. Ông là giáo sư danh dự (emeritus professor) tại Viện Nghiên cứu cao cấp (Institute for Advanced Study, Mỹ).
Công trình của ông về các dạng tự đẳng cấu và lý thuyết biểu diễn đã có ảnh hưởng rất lớn đến lý thuyết số. Năm 1957, Langlands tốt nghiệp Đại học British Columbia và tiếp tục nghiên cứu tại Đại học Yale, nơi ông nhận bằng thạc sỹ vào năm 1958 và tiến sĩ vào năm 1960. Sau đó, từ 1960 đến 1967, ông giảng dạy tại Đại học Princeton và nhận học hàm phó giáo sư tại đại học này. Từ năm 1967 đến 1972, ông trở lại giảng dạy tại Đại học Yale. Vào năm 1972, ông được công nhận là giáo sư tại Viện Nghiên cứu cao cấp ở Princeton và trở thành giáo sư danh dự từ tháng 1/2007.
Xem thêm : Đừng Để Trầm Cảm Tấn Công Bạn – Giải Đáp Việt – Tri Thức Cho Người Việt
Ông đã xây dựng lý thuyết giải tích của chuỗi Eisenstein đối với các nhóm reductive có hạng lớn hơn một. Điều này cho phép mô tả phổ liên tục của các thương số học và chứng tỏ rằng tất cả các dạng tự đẳng cấu đều xuất hiện dưới dạng nhọn và thặng dư của các chuỗi Eisenstein sinh ra từ các dạng nhọn của các nhóm con bé hơn.
Áp dụng đầu tiên của kết quả này là ông chứng minh giả thuyết của André Weil về số Tamagawa đối với lớp lớn của các nhóm Chevalley đơn liên bất kỳ xác định trên trường các số hữu tỉ. Trước đó, chỉ có một vài trường hợp và một số nhóm cổ điển được biết đến và có thể chứng minh bằng quy nạp.
Áp dụng thứ hai của công trình của ông về chuỗi Eisenstein là: ông có thể chứng minh sự phân hình đối với một lớp lớn các hàm số L nảy sinh trong lý thuyết các dạng tự đẳng cấu mà trước đó chưa được biết. Các hàm số L xuất hiện trong các thành phần hằng số của chuỗi Eisenstein và tính phân hình cũng như phương trình hàm yếu là hệ quả của các phương trình hàm đối với chuỗi Eisenstein.
Vào mùa đông 1966-1967, công trình này dẫn tới các giả thuyết lập nên chương trình Langlands. Các giả thuyết này nhằm mở rộng các ví dụ đã biết trước đó về luật nghịch đảo, bao gồm lý thuyết trường lớp cổ điển và các kết quả của Eichler và Shimura về các hàm zeta Hasse-Weil. Các giả thuyết này ban đầu được phát biểu dưới dạng lá thư gửi cho Weil vào tháng 1/1967. Trong lá thư này, Langlands đưa ra khái niệm L-nhóm và cùng với nó là khái niệm hàm tử.
Hàm tử, L-nhóm, nhập đề chặt chẽ của các nhóm adele (hay Abel) và áp dụng của lý thuyết biểu diễn về nhóm reductive trên trường địa phương đã thay đổi hoàn toàn phương pháp nghiên cứu về các dạng tự đẳng cấu đã được tiến hành trước đó. Việc Langlands đưa ra khái niệm này đã mở ra những bài toán lớn và những bài toán tương tác lớn hơn thành những bài toán nhỏ hơn và dễ giải quyết hơn. Đặc biệt, những khái niệm này đã quy lý thuyết biểu diễn vô số chiều của các nhóm reductive thành một lĩnh vực chính của hoạt động toán học.
Hàm tử là giả thuyết nói rằng các dạng tự đẳng cấu của các nhóm khác nhau có mối liên hệ thông qua các L-nhóm của chúng. Một ví dụ là trong lá thư gửi Weil, Langlands đề ra khả năng giải quyết giả thuyết nổi tiếng của Emil Artin khi xét dáng điệu của các L-hàm Artin và hy vọng giải quyết được một phần nhờ thay đổi cơ sở. Khi áp dụng cho giả thuyết Artin, hàm tử liên kết mỗi biểu diễn N-chiều của một nhóm Galois với một biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm adelic ứng với GL(N). Trong lý thuyết của các đa tạp Shimura, nó liên kết các biểu diễn tự đẳng cấu của các nhóm khác nhau với các biểu diễn Galois l-adic cụ thể.
Chúng tôi cho rằng giả thuyết về hàm tử sẽ còn lâu mới được chứng minh. Một trường hợp đặc biệt là giả thuyết Artin, công bố bởi Langlands và Tunnell, là điểm xuất phát cho Andrew Wiles tấn công vào giả thuyết Taniyama-Shimura và Định lý cuối cùng của Fermat.
Xem thêm : Hoa Ly Nở Bao Lâu Thì Tàn, Cách Giữ Hoa Ly Tươi Lâu
Langlands đã nhận được nhiều giải thưởng, bao gồm Giải thưởng Wolf năm 1996 cùng với Andrew Wiles, Giải thưởng Steel của Hội Toán học Mỹ năm 2005, Giải thưởng Jeffery-Williams năm 1980, Giải thưởng Nemmers về Toán năm 2006 và Giải thưởng Shaw trong lĩnh vực Toán năm 2007 cùng với Richard Taylor nhờ công trình của ông về các dạng tự đẳng cấu.
Phần bổ sung và góp ý của GS Ngô Bảo Châu:
Vì tôi không phải là chuyên gia trong lĩnh vực của GS Ngô Bảo Châu, sau khi viết xong phần cuối (dựa vào các tài liệu của Google), tôi đã gửi toàn bộ bài viết này cho GS Ngô Bảo Châu. Dưới đây là những góp ý chính của GS Châu:
- Dạng tự đẳng cấu là một khái niệm của Poincaré: đó là hàm số trên không gian đối xứng G/K, trong đó G là nhóm Lie và K là nhóm con compact cực đại, biến đổi theo một công thức đơn giản với tác động bên trái của một nhóm con số học của G. Sau đó, Gelfand đã chuyển từ dạng tự đẳng cấu sang biểu diễn tự đẳng cấu, một phần của lý thuyết biểu diễn vô hạn chiều và nghiên cứu phổ, giá trị riêng của các toán tử Hecke …
Trong trường hợp SL(2), một nửa số dạng tự đẳng cấu là dạng modula. Trong trường hợp dạng modula, giá trị riêng của toán tử Hecke có tính chất số học, liên quan đến số điểm trên một đường cong ellliptic modulo p. Giả thuyết Shimura-Taniyama-Weil nói rằng mọi đường cong elliptic xác định bởi phương trình với hệ số hữu tỉ đều có hàm số L là hàm số L của một dạng modula.
Định lý lớn của Langlands là định lý phân rã phổ: nó mô tả phổ liên tục (chuỗi Eisenstein) dựa trên phổ rời rạc của các nhóm con bé hơn. Đúng như tác giả đã viết, nó có ngay ứng dụng lên giả thuyết của Weil về số Tamagawa, mở rộng một công thức của Siegel.
Phát hiện lớn của Langlands là quy tắc hàm tử. Quy tắc hàm tử không mô tả một phổ cụ thể, mà mô tả chính xác trong trường hợp nào có quan hệ giữa hai phổ khác nhau và quan hệ đó như thế nào. Quy tắc hàm tử tạo ra rất nhiều ràng buộc đối với phổ. Trong lá thư gửi Weil, Langlands giải thích tại sao nguyên tắc hàm tử có thể giải quyết giả thuyết Artin về tính chỉnh hình của hàm số L của Artin. Nó cũng có tác động đến giả thuyết Selberg về giá trị riêng đầu tiên của Laplacian.
Một phần khác của “triết lý” của Langlands là luật thuận nghịch. Luật này mô tả các phổ tự đẳng cấu thông qua biểu diễn Galois. Nó bao gồm luật thuận nghịch của Gauss, Eiseinstein và giả thuyết Shimura-Taniyama-Weil. Tuy nhiên, để phát biểu luật thuận nghịch, cần có những giả thuyết khác. Nó có ảnh hưởng rất lớn đến lý thuyết số, nhưng có lẽ phải chứng minh quy tắc hàm tử trước khi hiểu được luật thuận nghịch. Trong trường hợp của trường hàm số, luật thuận nghịch đã được chứng minh bởi Drinfeld cho nhóm GL(2) và Lafforgue cho nhóm GL(n).
-
Lý thuyết nội soi nghiên cứu các dạng tự đẳng cấu có cùng hàm số L hoặc cùng ứng với một biểu diễn Galois theo luật thuận nghịch. Để mô tả nó, Langlands sử dụng công thức vết, so sánh hai công thức vết khác nhau. Vì vậy, cần có một số đẳng thức giữa các tích phân quỹ đạo, được gọi là Bổ đề cơ bản.
-
Ứng dụng của Bổ đề cơ bản
a) Endoscopy như đã đề cập ở trên.
b) Arthur: trường hợp đặc biệt của quy tắc hàm tử: đi từ nhóm cổ điển lên nhóm GL(n).
c) Kottwitz: đa tạp Shimura, nhiều trường hợp đặc biệt của luật thuận nghịch.
d) Công thức vết ổn định: công cụ chính để tiếp tục nghiên cứu quy tắc hàm tử.
Nguồn: Giaidapviet.com
Danh mục: Khám Phá
